OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT - Selamat datang di loker ilmu, pada kali ini kita akan membahas mengenai operasi hitung bilangan bulat, sebenarnya operasi hitung ini sudah kita pelajari waktu kelas 5 sd.

Pada saat menduduki bangku smp kita sudah memasuki tahap berkelanjutan untuk penghitungannya simak di bawah ini.

Rumus Operasi.
berikut ini adalah rumus-rumusnya :
1. Penjumlahan
a. Penjumlahan dengan alat bantu
Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan, dapat digunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut. Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Biasanya cara ini di lakukan pada saat kita duduk di bangku sd tujuannya untuk mempermudah kita dalam memahami soal.

Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

Contoh
Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan.
1. 6 + (–8)
Penyelesaian:
Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.
(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.
(c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

2. (–3) + (–4)
Penyelesaian:
Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.
(c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.
(c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.

b. Penjumlahan tanpa alat bantu
Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan  yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan.

1) Kedua bilangan bertanda sama
Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

Contoh:
a) 125 + 234 = 359
b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda
Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

Contoh:
a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15
b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

2. Sifat-Sifat Penjumlahan
a. Sifat tertutup
Pada penjumlahan , selalu menghasilkan bilangan yang sama juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga.

Contoh :
a. –16 + 25 = 9
–16 dan 25, 9 merupakan bilangan bulat.

b. Sifat komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

Contoh :
a. 6 + 5 = 5 + 6 = 11
b. (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3
c. 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4
d. (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20

c. Mempunyai unsur identitas
Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sembarang bilangan apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.

d. Sifat asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh :
a. (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6 = 5
4 + ((–5) + 6) = 4 + 1 = 5
Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).

b. (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10 = –2
–3 + ((–9) + 10) = –3 + 1 = –2
Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).

e. Mempunyai invers
Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)). Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a. Dengan kata lain, untuk setiap bilanganselain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0.

3. Pengurangan
Seperti pada penjumlahan, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

Perhatikan uraian berikut.
a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang . Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.
1) 4 – 3

2) 4 + (–3)

3) –5 – (–2)

4) –5 + 2

Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.
4 – 3 = 4 + (–3) = 1
–5 – (–2) = –5 + 2 = –3

Pada pengurangan, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.
Untuk setiap bilangana dan b, maka berlaku a – b = a + (–b).

a. 7 – 9 = 7 + (–9) = –2
b. –8 – 6 = –8 + (–6) = –14
c. 15 – (–5) = 15 + 5 = 20
d. –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

Pada contoh di atas dapat kalian lihat bahwa hasil dari pengurangan dua bilangan, juga menghasilkan hal yang sama. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan berlaku sifat tertutup.

b. Pengurangan dengan alat bantu
Berdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

1. 4 – 7
Penyelesaian:
Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.
(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.

2. –3 – (–5)
Penyelesaian:
Langkah-langkah untuk menghitung –3 – (–5) sebagai berikut.
(a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
(b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh 5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.
(c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2.

4. Perkalian
Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan
contoh berikut.
4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 x 5 dan 5 x 4 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

a. Menghitung hasil perkalian
Perhatikan uraian berikut.
1. 2 x 4 = 4 + 4 = 8
2. 2 x 3 = 3 + 3 = 6
3. 2 x 2 = 2 + 2 = 4
4. 2 x 1 = 1 + 1 = 2
5. 2 x 0 = 0 + 0 = 0
6. –2 x 4 = – (2 x 4) = – (4 + 4) = –8
7. –2 x 3 = – (2 x 3) = – (3 + 3) = –6
8. –2 x 2 = – (2 x 2) = – (2 + 2) = –4
9. –2 x 1 = – (2 x 1) = – (1 + 1) = –2
10. –2 x 0 = – (2 x 0) = – (0 + 0) = 0
11. 2 x (–2) = (–2) + (–2) = –4
12. 2 x (–1) = (–1) + (–1) = –2
13. (–2) x (–3) = – (2 x (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6
14. (–2) x (–2) = – (2 x (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4
15. (–2) x (–1) = – (2 x (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2
Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.
Jika p dan q adalah bilangan maka
1) p x q = pq.
2) (–p) x q = –(p x q) = –pq.
3) p x (–q) = –(p x q) = –pq.
4) (–p) x (–q) = p x q = pq.

b. Sifat-sifat perkalian
1) Sifat tertutup
Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian , salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
1. 3 x 8 = ....
2. 3 x (–8) = ....
3. (–3) x 8 = ....
4. (–3) x (–8) = ....

Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap dan q, selalu berlaku p x q = r dengan r juga bilangan bulat.

2) Sifat komutatif
Untuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
1. 2 x (–5) = ....
2. (–3) x (–4) = ....
3. (–5) x 2 = ....
4. (–4) x (–3) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap p dan q, selalu berlaku p x q = q x p.

3) Sifat asosiatif
Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan
bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
1. 3 x (–2 x 4) = ....
2. (–2 x 6) x 4 = ....
3. (3 x (–2)) x 4 = ....
4. –2 x (6 x 4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap, q, dan r selalu berlaku (p x q) x r = p x (q x r).

4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
1. 2 x (4 + (–3)) = ....
2. (–3) x (–8 + 5) = ....
3. (2 x 4) + (2 x (–3)) = ....
4. ((–3) x (–8)) + (–3 x 5) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap p, q, dan r selalu berlaku p x (q + r) = (p x q) + (p x r).

5) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.
1. 5 x (8 – (–3)) = ....
2. 6 x (–7 – 4) = ....
3. (5 x 8) – (5 x (–3)) = ....
4. (6 x (–7)) – (6 x 4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap p, q, dan r selalu berlaku p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

6) Memiliki elemen identitas
Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis dan tentukan hasil perkalian berikut.
1. 3 x 1 = ....
2. (–4) x 1 = ....
3. 1 x 3 = ....
4. 1 x (–4) = ....
Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan di atas?

Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap p, selalu berlaku p x 1 = 1 x p = p.
Elemen identitas pada perkalian adalah 1.

5. Pembagian
a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian Perhatikan uraian berikut.
(i) 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12 Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis 3 x 4 = 12 <-> 12 : 3 = 4.
(ii) 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis 4 x 3 = 12 <-> 12 : 4 = 3.

Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
Jika p, q, dan r .  dengan q faktor p, dan q tidak sama dengan 0 maka berlaku p : q = r <-> p = q x r.

b. Menghitung hasil pembagian
Coba ingat kembali sifat perkalian. Dari sifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.
Untuk setiap p, q, r . q tidak sama dengan 0 dan memenuhi p : q = r berlaku
(i) jika p, q bertanda sama, r adalah positif;
(ii) jika p, q berlainan tanda, r adalah negatif.

c. Pembagian dengan bilangan nol
Untuk menentukan hasil pembagian dengan bilangan nol (0), ingat kembali perkalian dengan bilangan nol.
Untuk setiap a berlaku a x 0 = 0 <-> 0 : a = 0

Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk setiap a, berlaku 0 : a = 0; a tidak sama dengan 0. Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.

d. Sifat pembagian
Apakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup? Perhatikan bahwa 15 : 3 = 5, 8 : 2 = 4, 2 : 2 = 1. Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3?
Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 . Karena tidak ada yang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

Kerjakan contoh soal berikut untuk menguji pemahaman kalian terhadap apa yang telah kalian baca tersebut.
1. Tentukan hasil pembagian berikut ini.
a. 90 : 5 f. –108 : (–18)
b. 56 : (–8) g. –72 : 4
c. –84 : 7 h. 52 : 0
d. 51 : (–3) i. 0 : (–49)
e. –64 : (–8) j. 128 : (–8)
2. Tentukan hasil pembagian berikut.
a. 72 : 6 d. –30 : (–6)
b. 52 : 3 e. 82 : –9)
c. –70 : 4 f. –96 : (–18)
3. Tentukan pengganti m, sehingga pernyataan berikut menjadi benar.
a. m x (–4) = –88
b. 9 x m = –54
c. m x (–7) = 91
d. m x –13 = –104
e. –16 x m = 112
f. 8 x m = –136
g. m x 12 = 156
h. m x (–6) = –144
4. Tentukan nilai pengganti huruf-huruf berikut sehingga menjadi kalimat yang benar.
a. 6 x p = (–3) x 6
b. 2 x (–q) x 9 = 9 x 3 x 2
c. 3 x a x (–2) = 3 x (5 x (–2))
d. 7 x (–a – b) = (7 x (–8)) + (7 x (–2))
5. a. Tentukan hasil perkalian berikut.
(i) (5 x 4) x (–3) dan 5 x (4 x (–3))
(ii) (6 x (–2)) x 7 dan 6 x ((–2) x 7)
(iii) (8 x (–6)) x (–5) dan 8 x ((–6) x (–5))
(iv) ((–7) x (–9)) x (–4) dan (–7) x ((–9) x (–4))
b. Berdasarkan soal (a), sifat apakah yang berlaku pada perkalian tersebut? Apa yang dapat kalian simpulkan?
6. Dengan menggunakan sifat distributif, tentukan nilai dari
a. 8 x (–24)) + (8 x (–16))
b. ((–17 x (–25)) + ((–25) x (–19))
c. ((–7) x (–16)) – ((–2) x (–16))
d. (29 x (–9)) – (9 x (–9))
7. Tulislah arti perkalian berikut, kemudian selesaikan.
a. 8 x 4
b. 2 x (–3)
c. 3 x p
d. 4 x (–p)
e. 4 x 8
f. 5 x (–2p)
8. Hitunglah hasil perkalian berikut.
a. 7 x (–18)
b. (–12) x (–15)
c. (–16) x 9
d. 25 x 0
e. (–24) x (–11)
f. 35 x (–7)
9. Dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan , hitunglah hasil penjumlahan berikut.
a. 23 + (–19) + 37
b. 32 + (–27) + (–43)
c. (–51) + 75 + 51
d. –38 + (–45) + (–22)
e. (–49) + 56 + (–31)
f. 25 + (–17) + (–28)
10. Suatu permainan diketahui nilai tertingginya 100 dan nilai terendahnya –100. Seorang anak bermain sebanyak 6 kali dan memperoleh nilai berturut-turut 75, –80, –40, 65, x, dan –50. Jika jumlah nilai anak tersebut seluruhnya 60, tentukan nilai x yang memenuhi.

Itulah sedikit mengenai operasi hitung pada bilangan bulat, semoga dapat membantu sobat :)
Jangan lupa share ya :)