Loker Ilmu: Matematika

Home Posts filed under Matematika

Showing posts with label Matematika. Show all posts

Monday, August 27, 2018

Bilangan Cacah Pengertian Beserta Penjelasan dan Contohnya

Pengertian Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah suatu himpunan bilangan asli yang di mulai dari nol dan selalu bertambah satu dengan bilangan setelahnya. Dengan catatan bilangan cacah selalu mengarah ke bilangan positif dan bilangan negatif tidak termasuk kedalam kategori bilangan cacah.

Contoh Bilangan Cacah

Seperti yang telah disebutkan di atas tadi, bahwasannya bilangan cacah merupakan bilangan positif yang di mulai dari nol dan mengarah ke kanan ( positif ), maka bisa disebut sebagai bilangan cacah, penggambarannya seperti berikut :

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} Benar
{…,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0} Salah
dari contoh di atas sudah jelas bahwa bilangan cacah tidak memiliki nominal negatif.

Apabila suatu bilangan cacah disimbolkan dengan menggunakan huruf “B” maka seluruh himpunan yang menyatakan unsur dari bilangan cacah "B" dapat dituliskan sebagai berikut :

B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,…dst}

Operasi Matematika Pada Bilangan Cacah

Didalam Operasi Matematika Bilangan cacah terdapat 4 operasi matematika, di antaranya sebagai berikut :

Penjumlahan
Pengurangan
Perkalian
Pembagian

1. Operasi Penjumlahan Bilangan Cacah

Operasi yang pertama Pada Bilangan cacah adalah penjumlahan, Didalam bilangan cacah berlaku sifat-sifat sebagai berikut :

a. Sifat identitas
Sifat identitas menunjukkan bahwa bilangan cacah dengan nilai berapapun jika dijumlahkan dengan angka nol maka akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Sebagai contoh :

a + 0 = 0 + a = a
5 + 0 = 0 + 5 = 5

b. Sifat pengelompokkan (asosiatif)
Pada operasi penjumlahan bilangan cacah a, b dan c berlaku:

(a + b) + c = a + (b + c).

Sebagai contoh :

(1 + 3) + 4 = 4 + (3 + 1) = 8
Sifat pengelompokkan (asosiatif) : jika dikelompokan dengan posisi yang berbeda, hasilnya akan tetap sama.

c. Sifat pertukaran (komutatif)
Pada penjumlahan sembarang bilangan cacah berlaku:

a + b = b + a

Sebagai contoh :

2 + 3 = 3 + 2 = 5
sebenarnya sifat pertukaran ini memiliki kesamaan dengan sifat pengelompokan ( asosiatif ) di mana 2 + 3 = 5 dan 3 + 2 = 5 yang nilai akhirnya selalu sama meskipun posisinya di bolak-balik.

d. Sifat tertutup
Pada penjumlahan dua bilangan cacah a dan b hasilnya berupa bilangan cacah.
Sebagai contoh :

0 + 1 = 1 (bilangan cacah)
2 + 3 = 5 (bilangan cacah)
Sifat tertutup artinya setiap kita menjumlahkan 2 bilangan cacah atau lebih hasilnya merupakan anggota himpunan bilangan cacah.

2. Operasi Pengurangan Bilangan Cacah

Operasi pengurangan bilangan cacah merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan. Pada operasi pengurangan bilangan cacah berlaku:

a – b = c
sama artinya dengan:
b + c = a
dimana nilai pada bilangan a harus lebih besar ataupun sama nilainya dengan nilai b. Sifat identitas tidak berlaku pada operasi pengurangan bilangan cacah karena:
a – 0 ≠ 0 – a.

3. Operasi Perkalian Bilangan Cacah

Pada operasi perkalian bilangan cacah berlaku konsep penjumlahan berulang-ulang dari bilangan cacah yang dikalikan, seperti:

3 x 3 = 3 + 3 + 3

sedangkan:

3 + 3 + 3 = 3 x 3
Pada operasi perkalian bilangan cacah berlaku sifat identitas, pengelompokkan, pertukaran dan distributif.

a. Sifat identitas
Perkalian pad bilangan cacah "a" dengan bilangan cacah "1" menghasilkan bilangan "a" itu sendiri atau:

1 x a = a x 1 = a.
dengan syarat harus di kalikan dengan bilangan 1.

b. Sifat pengelompokkan
Pada operasi perkalian bilangan cacah o, p dan q berlaku:

(o x p) x q = o x (p x q).
meskipun di kelompokkan berbeda-beda namun hasil perkaliannya tetap sama.

c. Sifat pertukaran
Pada perkalian bilangan cacah sembarang berlaku:

a x b = b x a.
meskipun posisi a pindah ke b dan sebaliknya hasil yang di peroleh tetap sama.

d. Sifat penyebaran (distributif)
Pada operasi perkalian terhadap penjumlahan bilangan cacah sembarang berlaku:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
Sifat distributif : suatu penggabungan dengan cara mengkombinasikan bilangan dari hasil operasi terhadap elemen-elemen kombinasi tersebut

e. Sifat tertutup
Perkalian bilangan cacah x dan y menghasilkan bilangan cacah.

2 x 2 = 4
dari contoh di atas 2 x 2 = 4 maka 4 juga di katakan bilangan cacah.

f. Perkalian bilangan cacah dengan bilangan nol akan menghasilkan nilai nol.

3 x 0 = 0
Berapapun nilai bilangan yang di kalikan dengan nol ( 0 ) maka hasil akhirnya pun akan tatap nol

4. Operasi Pembagian Bilangan Cacah

Pada operasi pembagian bilangan cacah berlaku konsep pengurangan berulang yang menghasilkan jumlah pengulangan angka yang dikurangkan.

Sebagai contoh :

12 : 3 = 12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 4.
12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 4.

Sifat-sifat pertukaran identitas, pengelompokkan maupun distributif tidak berlaku dalam operasi pembagian ini.

semoga bermanfaat :)
Dan jangan lupa share ya.

Monday, March 05, 2018

Kelas 6 Mata Pelajaran Matematika Sd/Mi

Materi Matematika Kelas 6 Semester 1

Comment

Berikut materi pembelajaran untuk bidang studi / materi pelajaran Matematika untuk kelas VI semester I (ganjil) SD dan MI selengkapnya:

BAB 1 OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

A. Menggunakan Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
B. Operasi Hitung Campuran
C. Operasi FPB dan KPK pada Dua Bilangan
D. Menentukan FPB dan KPK pada Tiga Bilangan
E. Menentukan Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan Kubik
F. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Operasi Hitung Termasuk Penggunaan Akar dan Pangkat
Ayo Berlatih 1

BAB 2 PENGUKURAN VOLUME PERWAKTU

A. Mengenal Satuan Volume
B. Operasi Hitung Satuan Waktu
C. Mengenal Satuan Debit
D. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Satuan Debit
Ayo Berlatih 2

BAB 3 MENGHITUNG LUAS

A. Menghitung Luas Bangun Datar
B. Menghitung Luas Segi Banyak
C. Menentukan Luas Lingkaran
D. Menentukan Volume Prisma Segitiga dan Tabung
Ayo Berlatih 3

BAB 4 MENGUMPULKAN DAN MENGOLAH DATA

A. Mengumpulkan dan Membaca Data
B. Mengolah dan Menyajikan Data dalam Bentuk Tabel
C. Menafsirkan Data
Ayo Berlatih 4
Ayo Berlatih Akhir Semester 1

Nah, demikianlah sekilas informasi mengenai materi matematika kelas 6 semester 1.

Thursday, March 01, 2018

Kelas 7 Mata Pelajaran Matematika Smp/Mts

Jenis Jenis Sudut Bagian 2

Comment

Pada waktu sekolah dasar, kalian sudah mengenal tentang jenis-jenis sudut yaitu sudut siku-siku, sudut lancip dan sudut tumpul. Pengertian ketiga jenis sudut tersebut adalah sebagai berikut:

Sudut siku-siku

merupakan sudut yang dibentuk oleh pertemuan pangkal dua buah garis lurus yang saling tegak lurus.

Sudut lancip

merupakan sudut yang kaki-kaki sudutnya tidak saling tegak lurus dan jarak kaki sudutnya lebih kecil dari jarak kaki-kaki sudut pada sudut siku-siku.

Sudut tumpul

sudut yang kaki-kaki sudutnya tidak saling tegak lurus dan jarak kaki sudutnya lebih jauh dari jarak kaki-kaki sudut pada sudut siku-siku.

Pengertian setiap jenis sudut di atas tidaklah salah, tetapi pengertian tersebut masih sangat sederhana dan perlu penjelasan lebih agar pemahaman kalian semakin bertambah. Selain ketiga jenis sudut tersebut, masih terdapat jenis sudut lainnya yang perlu kalian ketahui. Secara umum, terdapat 6 jenis sudut berdasarkan besar sudutnya, yaitu:

a. Sudut Siku-siku

Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90°. Sudut ini dicirikan dengan kaki-kaki sudutnya yang saling tegak lurus. Sudut siku-siku biasanya dinotasikan dengan “∟”. Salah satu contoh sudut siku-siku dapat dilihat dari sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek yang menunjukkan pukul 09.00.

b. Sudut Lancip

Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0° dan 90°.

c. Sudut Tumpul

Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90° dan 180°.

d. Sudut Lurus

Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180°. Pada jam analog, sudut ini dapat dilihat saat jam menunjukkan pukul 06.00.

e. Sudut Refleks

Sudut refleks adalah sudut yang besarnya lebih dari 180° dan kurang dari 360°.

f. Sudut Putaran Penuh

Sudut putaran penuh adalah sudut yang besarnya 360°.

Apakah kalian telah memahami penjelasan di atas? Agar pemahaman kalian bertambah, yuk perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Contoh

Tentukan jenis sudut dari setiap sudut berikut ini.
a) 36⁰
b) 98⁰
c) 180'
d) 256⁰

Penyelesaian:
Untuk menentukan jenis sudut tersebut, kita harus memahami definisi keenam jenis sudut yang telah dijelaskan sebelumnya, yaitu:
1. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90⁰.
2. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0⁰ dan 90⁰ (0⁰ < α < 90⁰).
3. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90⁰ dan 180⁰ (90⁰ < α < 180⁰).
4. Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180⁰.
5. Sudut refleks adalah sudut yang besarnya antara 180⁰ dan 360⁰ (180⁰ < α < 360⁰).
6. Sudut putaran penuh adalah sudut yang besarnya 360⁰.
Dengan demikian, kita dapatkan:
a) 36⁰ merupakan sudut lancip karena sudut tersebut berada di antara sudut 0⁰ dan 90⁰ (0⁰ < 36⁰ < 90⁰).
b) 98⁰ merupakan sudut tumpul karena sudut tersebut berada di antara sudut 90⁰ dan 180⁰ (90⁰ < 98⁰ < 180⁰).
c) Mula-mula, kita ubah dahulu dalam satuan derajat (⁰). Oleh karena 1⁰ = 60', maka 1' = 160160⁰. Dengan demikian, 180' = 1806018060⁰ = 3⁰. 3⁰ merupakan sudut lancip karena sudut tersebut berada di antara sudut 0⁰ dan 90⁰ (0⁰ < 3⁰ < 90⁰).
d) 256⁰ merupakan sudut refleks karena sudut tersebut berada di antara sudut 180⁰ dan 360⁰ (180⁰ < 256⁰ < 360⁰).

Monday, February 19, 2018

Kelas 11 Mata Pelajaran Matematika Sma/Smk

Mengenal Determinan Matriks Bagian 1

Comment

Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi

a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

Misalkan A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det A =

= ad – bc

Contoh Soal 1 :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

a. A =

b. B =

Penyelesaian :

a. det A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

= (5 × 3) – (2 × 4) = 7

b. det B = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

= ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5

b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)

Jika A =

adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A dinyatakan dengan det A = Matriks Ordo 3 × 3

Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

Aturan Sarrus

Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A_{3 × 3}. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.

Metode Minor-Kofaktor

Misalkan matriks A dituliskan dengan [a_ij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan M_ij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A_{3 × 3} kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :

Akan diperoleh M₂₁ = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

. M₂₁ adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M₂₁ = minor a₂₁. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya :

M₁₃ =

Kofaktor elemen aij, dinotasikan K_ij adalah hasil kali (–1)^i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :

K_ij = (–1)^i+j M_ij

Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a₂₁ dan a₁₃berturut-turut adalah

K₂₁ = (–1)²⁺¹ M₂₁ = –M₂₁ = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

K₁₃ = (–1)¹⁺³ M₁₃ = M₁₃ = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Kofaktor dari matriks A_{3 × 3} adalah kof(A) = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.

Misalkan diketahui matriks A = Matriks Ordo 3 × 3

Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.

Kita pilih baris pertama sehingga

det A = a₁₁ K₁₁ + a₁₂ K₁₂ + a₁₃ K₁₃

= a₁₁ (–1)¹⁺¹ M₁₁ + a₁₂ (–1)¹⁺² M₁₂ + a₁₃ (–1)¹⁺³ M₁₃
₌ This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

= a₁₁(a₂₂ a₃₃ – a₃₂ a₂₃) – a₁₂(a₂₁ a₃₃ – a₃₁ a₂₃) + a₁₃(a₂₁ a₃₂ – a₃₁ a₂₂)

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ – a₁₂ a₂₁ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ – a₁₃ a₂₂ a₃₁

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ – a₁₃ a₂₂ a₃₁ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ – a₁₂ a₂₁ a₃₃

Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus.

Saturday, February 17, 2018

Kelas 11 Matematika Sma/Smk

Mengenal Invers Matriks Bagian 1

Comment

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dengan $ad - bc \neq 0$ , maka invers dari matriks A (ditulis $A^{-1}$ ) adalah sebagai berikut:

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh: Diketahui A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dan B =

Selidiki, apakah A dan B saling invers?

Penyelesaian :

Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.

A × B =

B × A =

Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A^–1 = B dan B^–1 = A.

Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

, dengan ad – bc ≠ 0.

Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A^–1 . Dengan demikian, berlaku :

AA^–1 = A^–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dan matriks B = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.

Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

Jadi, diperoleh sistem persamaan :

ap + br = 1 dan aq + bs = 0

cp + dr = 0 cq + ds = 1

Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

Dengan demikian,

Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?

Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

= I

Karena A × B = B × A = I maka B = A^–1.

Jadi, jika A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

maka inversnya adalah :

untuk ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 18 :

Tentukan invers matriks-matriks berikut.

a. A =

b. B =

Jawaban:

Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)

Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer.

a. Dengan Adjoin

Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :

adj(A) = (kof(A))^T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.

Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.

Contoh Soal 19 :

Diketahui matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

. Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.

Jawaban :

Terlebih dahulu kita hitung determinan A.

det A =

= 1(1) – 2(2) + 1(1) = –2

Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh :

adj(A) =

Jadi, A^–1 dapat dihitung sebagai berikut.

b. Dengan Transformasi Baris Elementer

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (A_n | I_n), dengan In adalah matriks identitas ordo n.

2) Transformasikan matriks (A_n | I_n) ke bentuk (I_n | B_n), dengan transformasi elemen baris.

3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks A_n adalah B_n.

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) B_i ↔ B_j : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;

b) k.B_i : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;

c) B_i + kB_j : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Soal 20 :

Tentukan invers matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dengan transformasi baris elementer.

Penyelesaian :

Jadi, diperoleh A^–1 = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Keterangan :

1/2 B₁ : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.

B₂ – 5B₁ : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.

B₁ – B₂ : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.

2B₂ : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.